大老李聊数学（全集）

要说163的这个特别性质，我们要从质因数分解说起。我们小学时候就知道质因数分解这件事，而且有一个定理叫：唯一因子分解定理。意思就是任何一个整数的质因数分解方式是唯一的，不可能有两种方法。这个定理是如此重要，以至于它有另一个名称叫“算术基本定理”。 但你有没有想过，在引入虚数之后，这个质因数分解有了些新的变化。比如我们算一下(1+i)(1-i)=1-(-1)=2，这样好像2就有了一种因数分解方法了。当然如果你看到这个结果就当...

塑料常数的定义很简单，它就是方程x^3=x+1的唯一实数根，约等于1.3247或4/3，它的根式表达形式： （上图：20个不同的正方形，当边长差距达到4/3时，你会把它们分为两类） （上图：左边为黄金分割的构造，右边为“塑料常数”的构造。取一条线和两个分点，构造6条不同长度的线段，使得相邻长度两条线段比相等。比值即为“塑料常数”） （上图左:按黄金分割比切割的正方形。上图右：长宽高按‘塑料常数’构造的立方体，你能看出'清晰感'吗？...

你可能听说过计算机里的随机数生成算法叫“伪随机数生成算法”，又叫“决定式随机位生成器”（ deterministic random bit generator ( DRBG )），意思就是它能随机生成1个二级制位，0或者1，而且是50%概率。为什么这种算法都是二进位的生成器？因为平时我们使用均匀分布随机数的场合是最多的，有了均匀分布的随机数，转换成其他分布也是比较简单的。而计算机内部又都是二进位，我有了产生0和1的二进位生成器，如果一个计算机内部浮点数...

如果我想让你生成一串0和1的数字序列，而且符合所谓0-1二项分布，0和1的概率各50%，你会怎么做？当然，这很简单，你可以拿一枚硬币不停的丢，看到正面写个0，背面写个1。当然，也会有想偷懒的朋友会说，我就直接瞎写就可以了，只要我0和1写的总数差不多就可以了。现在问题，如果我给你两个0-1的序列，其中一个是某人用丢硬币的方法产生的，另一个是某人“随便”手写产生的，请问你有办法鉴别出来这两个序列哪个是丢硬币产生的，哪个...

卡农并不是特定的某个曲子，而是一种作曲的格式，就像唐诗有绝句，有律诗一样，卡农是一种格式。其基本结构而言就是两段相似甚至完全一样的旋律，在时间上有一点错位，产生一种纠缠回旋感觉的旋律。 巴赫莫比乌斯带卡农，原五线谱有“滑移反射”效果： 做成“莫比乌斯带”： 巴赫“永不终止的卡农”的音高走向图，六轮叠加，每一轮升高一个全音： 订阅“大老李聊数学”公众号：dalaoli_shuxue

大家好，我是大老李。今天节目主题叫“埃尔德什偏差问题”(Erdos Discrenpency Problem)，让我们还是从一个有意思的故事去理解这个命题。 临近毕业季，你的学校有一个奇怪的毕业仪式，你只有完成这个仪式或者说是一个极具挑战性的任务，你才算正式毕业了。这个挑战是这样的：你站在学校操场上的某个位置，你的任务就是绕操场走完一圈。但是有个规则是，你的某个同学会给你准备一大堆排序好的指令卡，每张卡上写着+1和-1这样的数字，...

“为什么说实数是连续的，能够布满一条数轴？” 相对应的，为什么有理数就不行，也就是有理数是不连续的，有很多断点的？ ..... 前面戴德金拉拉杂杂说了那么多，现在重点来了，他其实就是想说，既然分割点不一定是有理数，那我就定义一种数叫“实数”，每个实数就对应以上的一种对“有理数”的切割，也就是一对左集和右集，唯一对应一个叫实数的数。这个定义重要的一点是，它是根据有理数定义出来的，而没有用到更多前提；第二点，根据切...

大家好，我是大老李。今天聊个最近的一条数学新闻，是关于一个业余数学爱好者的一个新的数学发现，这个发现是关于一个叫“哈德维格-纳尔逊问题”的。这个问题1945年先由瑞士数学家哈德维格发表，1950年普林斯顿大学数学系教授纳尔逊将其正规化，因此后来将此问题命名为：哈德维格-纳尔逊问题。这个名字有点长，所以之后节目里我就把它简称为“哈纳问题”。这个哈纳问题被马丁加德纳于1960年在《科学美国人》杂志上发表，名声一时大噪。...

大家好，我是大老李。今天聊个简单的话题，就是有关我不久前在节目里出过的两道概率题。你还没听过的话可以暂停先翻过去两集，听一下原题思考一下。这期节目我就跟大家聊聊这两道题，不是单纯说个答案，而是讲讲这两道题的有意思的地方和我的一些感想。 第一道题是这样的：你有一个邻居，他有两个小孩。至少有一个是男孩，问两个都是男孩的概率？你的第一个感觉是1/2对不对？但正确答案是⅓。 理由是两个小孩的组合有四种：男男，男...

大家好，我是大老李。今天节目主题是“帕里斯-哈林顿”定理(Paris-Harrington)，这个定理是有关不可证明的命题的。说到不可证明的命题，大家第一感觉一定是连续统假设。那这个帕里斯哈-林顿定理为啥也重要呢？我们先要搞清楚什么是不可证明性。 第一季节目里我有一期节目是哥德尔不完备性原理。我们简单复习一下。哥德尔的第一不完备原理是说对任何包含皮亚诺算术且可以公理化的理论，这个理论是不完全的。不完全的意思就是这个系统...

请你思考一下以下两道概率题： 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩，问两个孩子都是男孩的概率是多少？ 2. 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩且出生在星期二，问两个孩子都是男孩的概率是多少？ 请你自己思索下再搜答案。我会在不久之后的节目中跟大家探讨下这两道题。

大家好，我是大老李，今天的节目话题其实是来自“科学有故事”的主播汪诘老师。他最近在着手写一本有关数学的科普读物，他希望我解答一些他在写作中的遇到的难点问题，而我正好也在帮他解答的同时，也把这个解答作为节目介绍给大家。 这次他提出的一个问题就是“第二次数学危机”是如何解决的？先解释下什么是第二次数学危机，其实三次数学危机并没有太官方的说法，只是大家都这么说。这第一次就是有关无理数的出现，第二次是微积分的...

大家好，我是大老李，今天的话题来自去年年底有人的发表一篇论文，论文的标题就叫“蚱蜢问题”，The Grasshopper Problem. 这个论文提出了一个有趣的问题，说假设让你设计一个草坪的形状，草坪的总面积规定好了，比如是s，你有一个设计目标，就是假设有一个蚱蜢停留在你的草坪上一个随机位置，然后蚱蜢开始起跳，蚱蜢跳跃方向是随机的，但跳跃的距离是一个固定值，比如说d。然后你要设计你的草坪形状，使蚱蜢跳跃后停留在你的草坪上...

要讲选择公理，就不得不先讲一下所谓数学的第三次危机，也就是由著名的罗素悖论引发的一场危机。简单回溯一下历史，那是在19世纪后半页，数学家们开始逐渐意识到数学的理论基础是不完善的，需要重新构建数学的基础，就像欧几里得几何一样。欧式几何，通过5条简短的公理就能推导出一整套数量庞大且堪称完美的几何定理和结论。所以数学家希望对代数学也建立这样一套公理系统，更重要的是逻辑推理的规则系统。而恰好康托对无穷集合有...

大家好，我是大老李，今天是“大老李聊数学”第一季的最后一集。我要休息一下也充电一下，预计在三月左右，以更好的状态给大家呈现更好的第二季。在这一年多的时间里，我制作了三十多集节目，订阅数突破了五千，也算小有成果。在此感谢所有支持过我，关注我的听众。您的每一次点赞，打赏，评论，都是对我的莫大鼓励。 今天借这期节目，准备回答某个听众问我的问题，就是学数学有什么用？特别的是他还提出了两个具体的问题，就是研究...

大家好，我是大老李，今天的节目还是接上期的话题，上期结束我提出了一个有关基因的问题，我们来回顾下： 假设我们知道单双眼皮是一对等位基因控制的，且双眼皮是显性基因，用字母A来表示。如果现在人群中两个大A的双眼皮的人比例是50%，一个大A一个小a，表现为双眼皮的人是20%的比例，剩下30%是单眼皮。问他们的子代里，各类基因组合比例如何？他们的孙代又会如何？ 基因计算“九宫格”： 哈代的信件： " 我怀着忐忑的心情给与您唐...

大家好，我是大老李。这期继续讲有关博弈论的话题。上期结尾留下了一个思考题，我把题目简单再回顾下： 问题是这样，有个母亲，她有一对双胞胎儿子。儿子很调皮，她为了管理好她的儿子，想出了这么一个政策，她每天会准备20块钱，傍晚单独问她两个儿子，问他们有关另一个小孩在学校的表现。如果两人都说另一个表现的很好，那么他们会各得10块钱。如果其中一个报告了另一个的不好表现，则报告的可以得到15块钱，不报告的一分没有。...

有这么一个猜拳游戏，猜拳的双方姑且叫他们“小单”和“小双”，单数和双数的单双。猜拳时只能出两种手势，就是出一个大拇指，表示一，或者出四个手指，表示四。然后把双发的手势数字加起来，单数时小单赢，双数时，小双赢。而且赢得分数就是双方手势数字之和。比如一个人出了1，另一个出了4，那么加起来是5，那小单赢了5分。如果两个人都出了1，那么加起来是2，是双数，那么小双赢了2分。 现在的问题就是这个游戏是公平的游戏吗？ 该...

大家好，上期我们讲了一个大数，叫葛立恒数。今天我们再接再厉，再讲一个超大数，叫TREE(3)。这里TREE就是英文里树木的那个单词TREE。TREE(3)其实就是一个函数，函数名称叫TREE，而函数自变量取值是3。 上期讲过，TREE(3)跟葛立恒数比的话，葛立恒数是属于忽略不计的。更为神奇的是，TREE(3)的定义比葛立恒数更简单，简单来说，它就是一个画“树”的游戏，树林的树。这里，这个“树”的概念，对计算机专业的听众来说再熟悉不过了，什么...

(文末有“每周一题”和上周答案) 大家好，我是大老李。今天的话题内容是有位听众提供的线索，让我聊聊有关葛立恒数和TREE(3)这两个大数字。这两个大数字确实很有趣，值得一说。当然我们今天不是讨论什么是最大的数字，而是最大而且有意义的数字。 记得小时候很多数学科普书的一开头都会提到一些数学历史中出现过的很大的数字，今天我们要跳过这些书上提到过得的很多数字，比如古戈尔数，围棋的变化数，最大的梅森素数，思古斯数，我...

(文末有每周一题和上周答案) 今天跟大家聊一个近期的数学新闻。这个新闻是关于这样一个问题：什么样形状的地砖可以铺满地板不留缝隙？你可能马上能想到正三角形，正方形和正六边形都可以。那如果不是正多边形的呢？这个问题一下子有意思起来，这就牵涉到数学中所谓的密铺问题。密是密密麻麻的的密，铺是铺地板的铺。 任意三角形密铺： 任意四边形密铺： 六边形密铺： 15种五边形密铺(含4中特例)： 非周期性密铺--彭罗斯镶嵌： 每周...

很有趣，略带神秘感。要知道这个常数的来由，我们可以先从一个小故事开始。 有一只蚂蚁，在一根橡皮绳上的一端，橡皮绳初始长度为1m，然后蚂蚁开始爬，它的爬行速度是每秒1cm，但橡皮绳每1秒后，又会均匀拉伸1m长，也就是1秒后，绳子变2米，再一秒后，变3米长，等等。问你这只蚂蚁能否爬到橡皮绳的另一端？ 上图中，黄色部分位于1/x曲线以上的部分面积之和，即为欧拉-马斯刻若尼常数。 每周一题：阴影部分面积多大？ （附上周答案...

（文末有每周一题） 先说个“任意大”的例子，比如“有任意大的素数”，这句话的意思就是说你无论给出一个多大的整数，总会有一个比它更大的素数，因为素数有无限多个。类似还有任意小，比如正数可以是任意小，因为无论你给出怎样的一个正数，总有一个比它更小的正数，比如你就把它除以2。 但是“充分大”与“任意大”并不一样，你不能说“充分大”的整数都是素数，这肯定是不对的。“充分大”往往用来描述一个涉及到“无限”的数列或函数，来表...

（文末有“每周一题”和上期答案） 一个叫弗兰克.本福特的物理学家在1938年发现身边的很多随处可见的一批数字的分布是有规律的，比如我们看看当初本福特在其发表的文章中举过的例子：335条河流的长度或区域的面积，这个区域猜想可大到国家，小到一个学校这种；3259条人口数据，这里也没有尺度，不过既然多达3000多条，那肯定也是有国家有城市有乡村不同大小区域的人口数据；104个物理数学常量，100份报纸上出现的数字等等等等。现在...

(文末有每周一题和上期答案) 大家好，我是大老李，今天这期我准备开一个不定期的系列节目叫“数学用语趣谈“。为什么叫数学用语而不是数学术语呢，因为我想聊的是那些在日常生活中已经普遍使用的词，然后数学家将其借用到数学里使用的词汇，而不是为了数学而专门创造的词。比如今天我们要讲的第一个词：“几乎”！ 怎么样，你能想出来数学在哪里能用到“几乎”，英文叫”Almost”这个词吗？是不是“几乎”就要想起来了？我来提醒你一下，你可...